0,999… = 1
Le nombre 0,999… (avec une infinité de 9) est mathématiquement exactement égal à 1.
Voici plusieurs démonstrations de cette égalité :
Démonstration par algèbre élémentaire
Soit x = 0,999…
Alors 10x = 9,999…
Donc 10x – x = 9,999… – 0,999…
9x = 9
x = 1
Démonstration par les séries
0,999… = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + …
= 9 × (1/10 + 1/100 + 1/1000 + …)
= 9 × (1/10) × (1 + 1/10 + 1/100 + …)
= 9 × (1/10) × (1/(1-1/10))
= 9 × (1/10) × (10/9)
= 1
Démonstration par les limites
La suite 0,9, 0,99, 0,999, … converge vers 1.
Cela signifie que la différence entre 0,999… et 1 est plus petite que n’importe quel nombre positif, donc cette différence est nécessairement 0.
Cette égalité peut sembler contre-intuitive, mais elle est parfaitement rigoureuse dans le cadre de l’analyse réelle. Elle illustre bien la subtilité des nombres réels et de leur représentation décimale.
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